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Animationen / Dispersion
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Phasen- und Gruppengeschwindigkeit bei Dispersion

Zeitharmonische Wellen

Im folgenden sollen zeitharmonische Wellen, die sich in positive z-Richtung ausbreiten, betrachtet werden. Die Ausbreitung wird durch eine Funktion f(t,z) beschrieben, die eine Lösung der linearen Wellengleichung ist. Eine explizite Lösung lautet z. B.:

f(t,z) kann dabei viele verschiedene Feld- und Netzwerkgrößen repräsentieren. Im Rahmen Elektromagnetischer Wellen kann dies sein:

  • die x-Komponente der elektrischen Feldstärke einer homogenen, ebenen Welle,
  • die z-Komponente der magnetischen Feldstärke einer TE-Welle entlang der z-Achse,
  • die y-Komponente der elektrischen Feldstärke einer H10-Welle in der Mittelachse eines Rechteckhohlleiters,
  • die Spannung einer TEM-Wellenleitung.

Alle diese und weitere Wellentypen breiten sich gemäß der cos-Funktion aus. Ziel dieser Animation ist die anschauliche Darstellung der Wellenausbreitung und die Veranschaulichung der Ausbreitungskenngrößen

  • Phasengeschwindigkeit vph und
  • Gruppengeschwindigkeit vgr.

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

Diese Größen werden wie folgt aus dem Ausbreitungsmaß b abgeleitet:

Nur für b = w/c und wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit c nicht von der Frequenz abhängt, gilt:

Folgende Ursachen können bewirken, daß das Phasenmaß b nicht proportional zur Kreisfrequenz w ist:

  • dispersive Medien, deren Materialparameter c(w) von der Frequenz abhängt (weil im Falle elektromagnetischer Wellen, die Materialparameter e und m von der Frequenz abhängen),
  • Wellentypen, deren Ausbreitungsmaß b von der Frequenz abhängt, wie bei allen TE- und TM-Wellen (z. B. Hohlleiterwellen).

In beiden Fällen weichen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit voneinander ab, man spricht von images/Dispersion. Die Bedeutung von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit soll an einem Beispiel veranschaulicht werden.
 
 

Überlagerung zweier harmonischer Wellenfunktionen mit unterschiedlicher Frequenz

Gegeben seien nun zwei Wellenfunktionen, mit unterschiedlichen Frequenzen w1und w2 sowie entsprechend unterschiedlichen Phasenmaßen b1 und b2, aber gleicher Amplitude und gleicher Phase für t = 0 und z = 0.

Die Wellen überlagern sich zu:

mit

also zu einer amplitudenmodulierten Funktion mit

  • einer "Träger"-Welle mit der mittleren Kreisfrequenz  und dem mittleren Phasenmaß  sowie
  • einer "einhüllenden" Welle mit der halben Differenz-Kreisfrequenz Dw und dem halben Differenz-Phasenmaß Db.

Die Nullstellen der Trägerwelle wandern mit der Geschwindigkeit

also näherungsweise mit der Phasengeschwindigkeit, wenn die relative Differenz zwischen w1 und w2 gering ist.

Die Nullstellen der Einhüllenden wandern mit der Geschwindigkeit

also näherungsweise mit der Gruppengeschwindigkeit, unter der gleichen Bedingung. Nun werden 3 verschiedene Fälle untersucht:
 
 

(a) Keine Dispersion

Keine Dispersion liegt vor, wenn gilt:

Träger und Einhüllende breiten sich mit der gleichen Geschwindigkeit aus.
 
 

(b) Normale Dispersion

Normale Dispersion liegt vor, wenn gilt:

Dann fällt die Phasengeschwindigkeit mit zunehmender Frequenz und ist stets größer als die Gruppengeschwindigkeit, denn mit a > 1 gilt:


 
 

(c) Anomale Dispersion

Anomale Dispersion liegt vor, wenn gilt:

Dann steigt die Phasengeschwindigkeit mit zunehmender Frequenz und ist stets kleiner als die Gruppengeschwindigkeit, denn mit a > 1 gilt nun:

Abbildung 1: Zur Veranschaulichung von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit


Animation

Stellen Sie nun mit Hilfe des Karteiblattes "Einstellungen" verschiedene Arten von Dispersion ein und beobachten Sie die unterschiedlichen "Phasengeschwindigkeiten" (Geschwindigkeiten des Trägers) und "Gruppengeschwindigkeiten" (Geschwindigkeiten der Einhüllenden). Mit dem Button "Start" wird nach der Berechnung die Animation gestartet, mit "Pause" angehalten bzw. fortgesetzt. "Stop" bricht die Animation ab.


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(c) 1999 Institut für Hochfrequenztechnik, Ruhr-Universität Bochum

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Letzte Änderung: 16.02.2005 | Ansprechpartner: Webmaster